Denombrement et sens du nombre jusqu'a 10

Denombrement et sens du nombre jusqu'a 10

En bref

4 ANALYSE Apprentissage de l’arithmétique Il est impossible d’évoquer la genèse du nombre et des habiletés numériques chez l’enfant sans évoquer Piaget et de ses collaboratrices (Piaget et Szeminska,… e parviennent pas à déterminer exactement la numérosité d’une collection ou d’une série discrète de 4, 6 ou 8 éléments (Hauser et coll., 2000). À propos de quelles activités (par exemple le comptage, le dénombrement, la résolution des opérations) ?

INSERM Dys 2007 — INSERM (2007)

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                                                                                      ANALYSE

Apprentissage de l’arithmétique

Il est impossible d’évoquer la genèse du nombre et des habiletés numériques chez l’enfant sans évoquer Piaget et de ses collaboratrices (Piaget et Szeminska, 1941 ; Piaget et Inhelder, 1959). L’objectif de Piaget était de montrer que la construction de la notion de nombre ne dépend pas du langage, mais de l’action intériorisée devenue réversible, c’est-à-dire de ses aspects opératifs. Pour Piaget, le nombre est solidaire d’une structure d’ensemble sans laquelle il n’y a pas de conservation des totalités numériques. Il n’est intelligible que dans la mesure où il demeure identique à lui-même quelle que soit la disposition des unités dont il est composé. C’est la raison pour laquelle Piaget a essentiellement étudié le nombre au travers de tâches dites de conservation. La conservation du nombre résulterait d’une coordina- tion des diverses dimensions en jeu (l’espace occupé par une collection et la densité) et relèverait d’une pensée opératoire et logique. Bien qu’ayant eu une énorme importance tant en psychologie qu’en pédago- gie, l’approche « logiciste » de Piaget ne peut expliquer les premières acquisi- tions de l’enfant. D’une part, la tâche de conservation du nombre a reçu d’innombrables critiques (pour une revue, Fayol, 1990). Les données empiriques suggèrent que la réussite à cette tâche ne relève pas de la logique opératoire que Piaget y décelait et qu’elle n’a pas le caractère essentiel qu’il lui prêtait. D’autre part, bien avant l’accès au stade opératoire concret, les enfants d’école maternelle manifestent préalablement à tout apprentissage académique, un large éventail d’habiletés numériques comme le comptage, le dénombrement, et même la résolution de problèmes additifs simples (Siegler, 1996). Ces constats affaiblissent l’importance d’une supposée rupture dével- oppementale aux alentours de 7 ans marquée par l’accès à une première forme de logique concrète et dont l’indice le plus fiable serait la conservation du nombre. Cependant, l’approche piagetienne a fortement contribué à renouveler notre conception des rapports entre l’enfant et le nombre. D’une part, la découverte par Piaget d’une intelligence préverbale chez le bébé a ouvert la voie aux études portant sur les compétences numériques précoces chez le nourrisson. D’autre part, l’attention portée à une compréhension du nombre allant au-delà de la simple maîtrise d’habiletés d’énumération, de dénombre- ment ou de calcul conserve toute sa valeur. 107 — p.125

e parviennent pas à déterminer exactement la numérosité d’une collection ou d’une série discrète de 4, 6 ou 8 éléments (Hauser et coll., 2000).

   Capacités numériques chez le bébé
   La sensibilité des jeunes enfants (de moins de 12 mois) à la quantité est
   réputée très précoce. Par exemple, ils discriminent les groupes d’objets ou de
   jetons sous réserve que les quantités soient petites (1, 2 et 3 items) (Starkey
   et Cooper, 1980 ; Strauss et Curtis, 1981 ; Antell et Keating, 1983). Il se
   pourrait même qu’ils disposent d’une représentation amodale des quantités
   puisqu’ils sont en mesure de discriminer et apparier les nombres d’événe-
   ments (Canfield et Smith, 1996 ; Wynn, 1996 ; Sharon et Wynn, 1998) et
   les ensembles de sons (Bijeljac-Babic et coll., 1993) sur la base de la quan-
   tité. Toutefois, ces résultats déjà anciens ont donné lieu à des analyses cri-
   tiques qui interdisent de les tenir pour acquis.
   Une question importante et mal résolue a trait au caractère numérique ou
   non des représentations ainsi mises en évidence. S’agit-il de représentations
   d’emblée spécifiquement numériques, et donc discrètes, ce qui étayerait
   l’hypothèse de l’existence d’un système inné dédié au traitement du
   nombre (Wynn, 1998) ? S’agit-il plutôt d’un système traitant des quantités
   continues, le caractère numérique discret n’étant pas inhérent à ce mode de
   traitement et n’apparaissant que plus tard ? S’agit-il d’un système général,

108 non spécifiquement dédié au nombre ni à la quantité, traitant des objets dis- — p.126

e : intervient-il ? Si oui, quand ? Comment ? À propos de quelles activités (par exemple le comptage, le dénombrement, la résolution des opérations) ?

Relations complexes entre nombre et langage Les nouveau-nés, les enfants d’âge scolaire et les adultes semblent disposer d’une capacité primitive et précoce d’évaluation approximative des quan- tités. Cette capacité étant préverbale, le problème se pose des relations qu’elle entretient avec les systèmes verbaux. Les descriptions de doubles dis- sociations (Butterworth, 1999) suggèrent que les capacités numériques peu- vent être spécifiquement affectées par un trouble sans que les capacités langagières le soient, et inversement. Ce constat est un argument fort en faveur de l’indépendance de ces deux capacités (Dehaene et Cohen, 2000). Le langage n’apparaît plus comme le médium supportant nécessairement les traitements numériques et autorisant seul les traitements arithmé- tiques. Il faut donc s’interroger sur l’éventuel impact du langage sur la réa- lisation des activités arithmétiques. Certaines thèses postulent l’existence d’une représentation amodale (McCloskey, 1992) alors que d’autres con- sidèrent que le langage est le mode privilégié de représentation des nombres (Brysbaert et coll., 1998). Il existe indéniablement des relations entre activi- tés arithmétiques et activités langagières. La difficulté tient à la délimitation 117 — p.135

ème propre à leur culture permettant de déterminer précisément la numérosité des collections. Cette acquisition comporte deux dimensions : d’une part,

                                                                                       SYNTHESE

celle du système de dénomination verbale des quantités propre à leur culture (quand elle en a un) ; d’autre part, les pratiques de dénombrement, qui pour- raient reposer sur des principes universels. Cette acquisition est lente et dif- ficile pour des raisons partiellement connues. Les systèmes verbaux sont des systèmes conventionnels reposant sur deux grands principes : • la lexicalisation qui associe à une cardinalité une dénomination et une seule (cinq, seize) ; • des règles combinatoires permettant d’élaborer une infinité de formula- tions complexes correspondant à n’importe quelle cardinalité (six cent soixante-quinze millions trois cent dix mille deux). Ces règles permettent des combinaisons de type additif (cent trois) ou multi- plicatif (trois cents). Le système numérique oral français lexicalise les cardi- nalités allant jusqu’à seize, les dizaines de vingt à soixante, cent, mille, million et milliard. La combinatoire code des relations exclusivement additi- ves jusqu’à 79 (vingt-cinq=vingt+cinq) puis des relations additives et multi- plicatives (quatre cent six=quatre x cent+six). L’évaluation des quantités peut se faire de manière globale ou précise. Dans le premier cas, comme nous l’avons vu précédemment, les erreurs augmen- tent avec la taille des collections à évaluer : elles sont rares pour les petites collections (1, 2 ou 3, voire 4), pour lesquelles un mécanisme de traitement spécifique pourrait exister (le subitizing) ; elles s’accroissent ensuite. Dans le second cas, il faut recourir au dénombrement, c’est-à-dire repérer chacune des entités de la collection en la traitant une fois et une seule et lui assigner une étiquette verbale et une seule de sorte que la dernière corresponde à la cardinalité de la collection. Le bon déroulement du dénombrement requiert de l’attention, la connaissance du lexique numérique et la capacité de mettre en œuvre des habiletés motrices et de les coordonner avec la récupé- ration en mémoire des formes verbales. Grâce au dénombrement, les enfants parviennent à affecter à chaque collection une cardinalité unique et précise, cela quelles que soient les formes perceptives des collections. 645 — p.663

src-dgs-sfp-langage-collection-difficultes-et-troubles-des-apprentissages-chez-l — DGS-SFP (2007)

Calcul Résolution Âge Numération (addition) de problèmes

GSM Comparaison spontanée de 2 collections différentes Calcul basé sur la du même objet (n<10). comptine. CP/CE1 Conservation du nombre : Addition de deux nom- Par combinaison comparaison de 2 collections d’objets différents bres <10, en ajoutant le (combien en plus, mais identiques en nombre. plus petit au plus grand, combien en moins…). unité par unité : (3+1=4+1=5+1=6+1=7). CE2 Numération maîtrisée au-delà de la centaine. Notions de commutativité Par combinaison (4+3=3+4) (combien de plus que et d’associativité ou de moins que…). (4+3+2=4+5). Par le choix de la bonne opération.

                                          RETOUR AU SOMMAIRE — _p.8_

orthographiques (roman et non raumen), les accords grammaticaux.

Acquisition des compétences logicomathématiques Calcul Résolution Âge Numération (addition) de problèmes — p.8

d’utilisation de retenues, de transcodage des nombres (98 est écrit 8018). Difficulté de compréhension des problèmes arithmétiques.

                                La suspicion d’une dyscalculie est l’indication d’une prise en charge spécifique :
                                rééducation orthophonique et/ou psychomotrice, associée à des adaptations pédagogiques.
                                Bien cerner les difficultés de l’enfant pour éviter de lui proposer des aides qui seront
                                pour lui des entraves (ex : activités visuo-spatiales telles que compter sur les doigts ou le
                                tableau à double entrée si une dyspraxie est associée).

                                                  RETOUR AU SOMMAIRE — _p.16_

src-dgs-sfp-langage-collection-03-expert-coll — DGS-SFP (2007)

fiés, l’étude de leurs interactions, notamment au cours de la scolarité et en fonction des enseignements dispensés ou non, reste à conduire.

   L’apprentissage du calcul
   Les questions relatives à l’acquisition puis à l’apprentissage de l’arithmétique
   élémentaire se posent à trois niveaux. Premièrement, les nourrissons sont,
   comme les animaux, en mesure de mobiliser deux systèmes différents pour le
   traitement des quantités et des transformations qui les affectent (ajouts,
   retraits). L’un, précis mais ne s’appliquant qu’aux petits ensembles discrets
   (1, 2 et 3) ; l’autre, extensible aux très grandes quantités, opérant sur les

10 dimensions continues ou traitant comme tels les ensembles d’éléments dis- — p.26

Synthèse

crets, fournissant une évaluation approximative selon laquelle les erreurs croissent en même temps que la taille des quantités évaluées (loi de Weber). La question du caractère spécifiquement numérique des traitements corres- pondants reste posée, tout comme celle des caractéristiques des représenta- tions sur lesquelles ils pourraient s’effectuer. Ces capacités ne sont qu’un point de départ mais elles pourraient constituer les fondements de la séman- tique des nombres. Les connaissances mathématiques plus complexes que l’être humain a développées au cours de son histoire vont bien au-delà et font appel à des systèmes numériques symboliques. Deuxièmement, à partir de 12-18 mois les enfants s’approprient le système propre à leur culture permettant de déterminer précisément la numérosité des collections. Cette acquisition comporte deux dimensions : d’une part, celle du système de dénomination verbale des quantités propre à leur culture (quand elle en a un) ; d’autre part, les pratiques de dénombrement, qui pour- raient reposer sur des principes universels. Cette acquisition est lente et dif- ficile pour des raisons partiellement connues. Les systèmes verbaux sont des systèmes conventionnels reposant sur deux grands principes : • la lexicalisation qui associe à une cardinalité une dénomination et une seule (cinq, seize) ; • des règles combinatoires permettant d’élaborer une infinité de formula- tions complexes correspondant à n’importe quelle cardinalité (six cent soixante-quinze millions trois cent dix mille deux). Ces règles permettent des combinaisons de type additif (cent trois) ou multi- plicatif (trois cents). Le système numérique oral français lexicalise les cardi- nalités allant jusqu’à seize, les dizaines de vingt à soixante, cent, mille, million et milliard. La combinatoire code des relations exclusivement additi- ves jusqu’à 79 (vingt-cinq=vingt+cinq) puis des relations additives et multi- plicatives (quatre cent six=quatre x cent+six). L’évaluation des quantités peut se faire de manière globale ou précise. Dans le premier cas, comme nous l’avons vu précédemment, les erreurs augmen- tent avec la taille des collections à évaluer : elles sont rares pour les petites collections (1, 2 ou 3, voire 4), pour lesquelles un mécanisme de traitement spécifique pourrait exister (le subitizing) ; elles s’accroissent ensuite. Dans le second cas, il faut recourir au dénombrement, c’est-à-dire repérer chacune des entités de la collection en la traitant une fois et une seule et lui assigner une étiquette verbale et une seule de sorte que la dernière corresponde à la cardinalité de la collection. Le bon déroulement du dénombrement requiert de l’attention, la connaissance du lexique numérique et la capacité de mettre en œuvre des habiletés motrices et de les coordonner avec la récupé- ration en mémoire des formes verbales. Grâce au dénombrement, les enfants parviennent à affecter à chaque collection une cardinalité unique et précise, cela quelles que soient les formes perceptives des collections. 11 — p.27

Dyslexie, dysorthographie, dyscalculie – Bilan des données scientifiques

   Troisièmement, les enfants repèrent très tôt les modifications de quantités
   associées aux ajouts, retraits voire au fractionnement. La maîtrise du dénom-
   brement leur permet de quantifier précisément ces transformations. Ils peu-
   vent donc effectuer en action ce qui correspond à des opérations
   arithmétiques, mais qui n’en sont pas encore : ils le font en rassemblant ou
   séparant des collections et en dénombrant à la fois les collections de départ
   et le résultat des transformations. C’est très progressivement qu’ils vont
   passer d’une résolution en action à un traitement portant sur les seuls symbo-
   les. Il se pourrait que l’usage des doigts ait à cette phase un rôle important
   dans la mesure où les collections de doigts sont à la fois analogiques et abs-
   traites (elles se substituent à tous les objets quels qu’ils soient). L’évolution
   se traduit par le passage des actions externes à des actions intériorisées puis à
   des traitements réalisés sur les formes verbales (4+3 → 4, 5, 6, 7). Il n’est pas
   facile de déterminer comment les enfants réalisent qu’opérer sur les seuls
   symboles permet d’aboutir à des résultats aussi fiables que ceux qui sont obte-
   nus à partir des manipulations.
   Quatrièmement, l’entrée à l’école se traduit par l’enseignement systématique
   d’un nouveau code – le code indo-arabe – et des algorithmes qui lui sont
   associés et qui donnent à la résolution des opérations une puissance que le
   code verbal ne peut assurer. Cet apprentissage est à la fois facile (le code
   indo-arabe ne comporte que dix items : 0,...9) et difficile, notamment du fait
   de la notation positionnelle (la valeur d’un chiffre change avec sa position).
   Le transcodage, passage de l’oral au code indo-arabe ou l’inverse, s’appuie ini-
   tialement sur les connaissances verbales, ce qui explique que, par exemple en
   français, la transcription de quantité telle que soixante quinze puisse donner
   lieu à des erreurs telles que 6015. Quant aux algorithmes, ils concernent la
   résolution des additions, soustractions, multiplications complexes et, dans
   une moindre mesure à l’école élémentaire, des divisions. Ils nécessitent que
   les enfants aient mémorisé certaines associations entre opérandes et résultats
   (3+2=5), de sorte qu’ils n’aient plus à les calculer et qu’ils puissent consacrer
   leur attention à la gestion de l’algorithme. Ils exigent aussi un minimum
   d’attention et de maîtrise de l’espace. Ils requièrent enfin un enseignement
   systématique et vigilant afin d’éviter l’installation d’erreurs de procédures dif-
   ficiles à éradiquer. L’introduction des fractions et des décimaux pose de nou-
   veaux problèmes, parce que, d’une part, la représentation des quantités
   change (encore que le fractionnement des quantités soit précoce) et, d’autre
   part, les algorithmes de traitement des opérations diffèrent de ceux qui
   s’appliquent aux entiers naturels (l’addition des fractions ; celle des déci-
   maux…).
   Cinquièmement, la résolution de problèmes arithmétiques reste un
   problème majeur, comme l’attestent les évaluations nationales ou interna-
   tionales. L’une des difficultés relève de l’activité de compréhension en
   lecture plus que des traitements arithmétiques eux-mêmes, au moins à

12 l’école élémentaire ; une autre tient à « l’arithmétisation » des situations. — p.28

src-dgs-sfp-langage-collection-02-plaquette-inpes — DGS-SFP (2007)

ent sur un pied (avec aide).

                         2-3 ans                                    2-3 ans                                  2-3 ans

          Fait des phrases de trois mots.            Fait une tour d’une dizaine de cubes.    A des préférences amicales.
          Utilise son prénom quand il parle          Réalise des constructions à l’aide de    Reconnaît quand il est heureux, quand
          de lui.                                    cubes (imite un pont de trois cubes).    il a peur, quand il est en colère ou
          Dit « je ».                                Réalise des puzzles de 4-6 pièces.       triste.
          Utilise des articles (« la », « une »…),   Dessine des traits verticaux et hori-    Est propre la nuit.
          des pronoms (« tu », « il », « elle »…).   zontaux, un cercle.                      S’affirme.
          Comprend des prépositions telles           Visse et dévisse le couvercle d’un       Anxiété de séparation, a un doudou.
          que « dans », « sur », « dessous »,        récipient.
          derrière ».                                Pédale sur un tricycle.
          Raconte ce qui lui est arrivé en termes    Descend les escaliers en alternant
          simples.                                   les pieds.
          Dit cent mots reconnaissables.
          Pose des questions : « Quoi ? Où ?
          Pourquoi ? Qui ? » — _p.19_

e. « dodo »…).

                          1-2 ans                                   1-2 ans                                  1-2 ans

          Dit cinq mots.                             Gribouille.                              Enfile ses chaussures.
          Identifie (montre ou donne) des objets      Fait des encastrements simples de        Joue parmi les autres.
          ou des images.                             formes.                                  Montre du doigt ce qui l’intéresse.
          Dit « non ».                               Fait une tour de deux cubes (14 mois),   Joue à faire semblant.
          Fait des phrases de deux mots (un          de cinq cubes (20 mois).                 Demande à aller aux toilettes.
          nom et un verbe, deux noms).               Utilise la cuillère.                     Indique une préférence quand on le
          Peut écouter une courte histoire           Pousse du pied le ballon.                fait choisir.
          (5 minutes).                               Tourne les pages d’un livre.
                                                     Court avec des mouvements coor-
                                                     donnés.
                                                     Se tient sur un pied (avec aide).

                         2-3 ans                                    2-3 ans                                  2-3 ans — _p.19_